Dans un bol très grand, mélangez la farine avec la levure et le sucre et l'eau tiède. Pétrissez, ajoutez le sel et travaillez le tout avec une spatule ou une cuillère en bois jusqu'à ce que la pâte soit humide mais bien homogène.
Couvrez le bol avec du film alimentaire et laissez-le lever à température ambiante pendant au moins 2 heures.
Ensuite, placez le bol au réfrigérateur et laissez-le maturer pendant un temps de votre choix, de 24 heures à 2 semaines. Plus votre pâte restera à maturer au réfrigérateur, meilleur sera le goût et l'aération de la pâte.
Après ce temps, retirez le récipient du réfrigérateur. Farinez la surface et le plan de travail. Retournez la pâte sur le plan de travail et formez rapidement une boule.
Huilez abondamment un moule rond de 22 cm de diamètre et placez-y la pâte. Aplatissez-la légèrement avec les mains, huilez légèrement la surface et laissez-la lever à couvert pendant 1 heure et demie.
Pendant ce temps, tranchez les oignons rouges, assaisonnez-les avec du sel, de l'huile, du poivre et du thym frais et laissez-les reposer pour qu'ils ramollissent. Disposez les oignons sur la surface de la focaccia levée.
Préchauffez le four à 220 °C et faites cuire la focaccia dans le four chaud pendant 25 minutes jusqu'à ce que la surface soit dorée. Une fois cuite, laissez-la reposer 5 minutes à température ambiante. Puis servez-la bien chaude.